جواب هایی برای مساله چهارم هیلبرت از دیدگاه هندسه فینسلری

ما در این پایان نامه به مساله چهارم هیلبرت از دیدگاه هندسه فینسلری می پردازیم. مساله چهارم هیلبرت که مساله خط راست بعنوان کوتاهترین فاصله بین دو نقطه لقب گرفته است به جستجوی همه توابع فاصله بین دو نقطه لقب گرفته است به جستجوی همه توابع فاصله (نه ضرورتا متقارن) می پردازد که روی زیر مجموعه بازی مانند u rn تعریف می شوند و برای هر دو نقطه دلخواه مانند x,y.u ، خط راست در بین منحنی هایی که این دو نقطه را بهم وصل می کنند دارای کوتاهترین طول می باشد، چون minkowski مثال های جالبی برای توابع فاصله از نوع نا متقارن کشف کرده بود لذا هیلبرت نیز توابع فاصله را ضرورتا متقارن در نظر نگرفته است. مساله چهارم هیلبرت از دیدگاه های متفاوت بوسیله ریاضیدانان مورد بحث قرار گرفته و جواب هایی نیز برای آن ارائه شده است. اما تاکنون این مسئله بطور کامل حل نشده است. از دیدگاه هندسه فینسلری فرض می کنیم تابع فاصله مورد نظر در مساله هیلبرت بوسیله یک متر فینسلری القاء شده باشد می دانیم که در اینصورت برای هر دو نقطه دلخواه د u rn ژئودزیکی که دو نقطه را بهم متصل می کند بین منحنی هایی که این دو نقطه را بهم وصل می کنند دارای کوتاهترین طول می باشد. حال اگر قرار باشد که متر القایی بوسیله متر فینسلری در مساله هیلبرت صدق کند باید ژئودزیک های این متر فینسلری خطوط راست در u rn باشد. این پایان نامه از چهار فصل تشکیل شده است. در فصل اول آشنایی مختصری با فضاهای فینسلری پیدا می کنیم مخصوصا در این فصل به توصیف مترهای فانک از دیدگاه هندسه فینسلری می پردازیم. در فصل دوم با فضاهای اسپری آشنا می شویم. از جمله اینکاه در این فصل به ارتباط فضاهای فینسلری با فضاهای اسپری می پردازیم طوری که از این ارتباطدر فصل سوم استفاده کرده و به توصیف مساله هیلبرت از دیدگاه هندسه فینسلری می پرئازیم . جواب هایی نیز برای آن ارائه می دهیم. در فصل چهارم نیز همانند فصل سوم جواب هایی برای مساله چهارم هیلبرت ارائه می شود. ولی در این فصل این کار توسط مترهای فانک و اسپری های r- فلت صورت می گیرد.